Übungsblatt 5

Aufgabe 1

Gegeben sei ein Stapel aus 2×N-1 dielektrischen Schichten, abwechselnd jeweils mit Schichtdicke (Subscript[d, 1]) und (Subscript[d, 2]) und optischen Dichten (Subscript[n, 1]) und (Subscript[n, 2]). Der Stapel beginne und ende mit einer Schicht der Dichte (Subscript[n, 2]) und sei in einem Medium der Dichte (Subscript[n, 1]) eingebettet.
Auf den Stapel falle monochromatisches Licht.

a) Geben Sie die Wellentransfermatrix M des Stapels an (als Produkt, unter Angabe der einzelnen Faktoren). Ein explizites ausmultiplizieren ist hier (noch) nicht gefordert.

b) Wie groß ist die Intensitäts-Reflektivität (algebraisch)?

c) Zeichnen Sie die Reflektivität als Funktion der einfallenden Frequenz für den Fall N=10, (Subscript[d, 1])=(Subscript[d, 2])=:d, (Subscript[n, 1])=1.5, (Subscript[n, 2])=3.5 im Bereich von 0 bis 4× (Subscript[ν, B]). Zeichnen Sie auch die Fälle N=1, 2, 3, 5 und 50.

d) Wo ist für den in c) genannten Fall und d=60nm das Zentrum des ersten Stoppbandes? Machen Sie sich klar, dass dieser Wert unabhängig von den einzelnen Werten von (Subscript[d, 1]), (Subscript[d, 2]), (Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2]) ist und nur von (Subscript[d, 1])(Subscript[n, 1])+(Subscript[d, 2])(Subscript[n, 2]) abhängt.

e) Zeichnen Sie die Reflektivität des Gesammt-Systems (N=10) für die Fälle ((Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]))=(2,3) und ((Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]))=(2.4,2.6) sowie für die Fälle ((Subscript[d, 1]),(Subscript[d, 2]))=(39nm,109nm) und ((Subscript[d, 1]),(Subscript[d, 2]))=(6nm,186nm).

stripe[x_,d_,n_]:={Switch[n,1,LightGray,2,Gray],Rectangle[{x,-1},{x+d,+1}],Black,Line[{{{x,-1},{x,+1}},{{x+d,-1},{x+d,+1}}}],Text[Switch[n,1,"(Subscript[n, 1])",2,"(Subscript[n, 2])"],{x+d/2,-1},{0,-1}]};
air[x_,d_]:={LightGray,Rectangle[{x,-1},{x+d,+1}],Black};
pair[x_,d_]:=Join[stripe[x,d,1],stripe[x+d,d,2]];
Graphics[Join[air[0,0.3],{Text["(Subscript[n, 1])",{0.15,-1},{0,-1}]},air[4.1,0.3],{Text["(Subscript[n, 1])",{4.25,-1},{0,-1}]},stripe[0.3,0.2,2],Join@@Table[pair[x,0.2],{x,0.5,3.9,0.4}],{Text["1",{0.4,-1.1},{0,+1}],Text["2",{0.8,-1.1},{0,+1}],Text["3",{1.2,-1.1},{0,+1}],Text["N",{4.0,-1.1},{0,+1}]}]]

a) Wellentransfermatrix

Ausbreitung in Medium:

Mfree[d_,n_,k0_]:=(({{(E^(-I φ)), 0}, {0, (E^(I φ))}}))/.{φ->n k0 d};

Einzelne Grenzfläche von (Subscript[n, 1]) zu (Subscript[n, 2]):

Mmirror[n1_,n2_]:=(1/(2n2))(({{n2+n1, n2-n1}, {n2-n1, n2+n1}}));

Abfolge eines Paares (Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]), mit zwei Grenzflächen:

Mpair[d1_,d2_,n1_,n2_,k0_]:=Mmirror[n2,n1].Mfree[d2,n2,k0].Mmirror[n1,n2].Mfree[d1,n1,k0];

Im Fall (Subscript[d, 1])=(Subscript[d, 2])=:d

FullSimplify[Mpair[d,d,n1,n2,k0]]

Für Komplett-System

Msystem[d1_,d2_,n1_,n2_,Nn_,k0_]:=Dot@@Array[Mpair[d1,d2,n1,n2,k0]&,Nn].Mfree[-d1,n1,k0];

b) Reflektivität

TBD

c) Graph

Umrechnung der Wellenlänge in Frequenzen und der Frequenz in einen Wellenvektor:

c:=299792458;
ν[λ_]:=(c/λ);
λ[ν_]:=(c/ν);
k0[ν_]:=2π (ν/c);

Brillouin-Frequenz

νB[d1_,d2_,n1_,n2_]:=(c/(2(d1 n1+d2 n2)));

Das Komplett-system als Matrix

Mexd[d_,k0_,Nn_]:=Msystem[d,d,(15/10),(35/10),Nn,k0];

Intensitäts-Reflektivität:

Rd[d_,k0_,Nn_]:=1-((Abs[1/Mexd[d,k0,Nn][[2,2]]])^2);

Reskalliert auf die Position des ersten Stop-Bandes:

Rd[νr_,Nn_]:=Rd[d,k0[νr×νB[d,d,(15/10),(35/10)]],Nn];

Plot[Rd[νr,10],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"N=10"]

Plot[Rd[νr,1],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"N=1"]
Plot[Rd[νr,2],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"N=2"]
Plot[Rd[νr,3],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"N=3"]
Plot[Rd[νr,5],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"N=5"]
Plot[Rd[νr,50],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"N=50"]

d) Stoppband

Print["(Subscript[λ, B])="<>ToString[(10^9)λ[νB[60×(10^(-9)),60×(10^(-9)),(15/10),(35/10)]]//N]<>"nm"];

e) Variationen

Das Komplett-system als Matrix

Mexf1[d_,k0_]=Simplify[Msystem[d,d,(20/10),(30/10),10,k0]];
Mexf2[d_,k0_]=Simplify[Msystem[d,d,(23/10),(27/10),10,k0]];

Intensitäts-Reflektivität:

Rf1[d_,k0_]:=1-((Abs[1/Mexf1[d,k0][[2,2]]])^2);
Rf2[d_,k0_]:=1-((Abs[1/Mexf2[d,k0][[2,2]]])^2);

Reskalliert auf die Position des ersten Stop-Bandes:

Rf1[νr_]=Rf1[d,k0[νr×νB[d,d,(20/10),(30/10)]]];
Rf2[νr_]=Rf2[d,k0[νr×νB[d,d,(23/10),(27/10)]]];

Plot[Rf1[νr],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"(Subscript[n, 1])=2.0, (Subscript[n, 2])=3.0"]
Plot[Rf2[νr],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"(Subscript[n, 1])=2.3, (Subscript[n, 2])=2.7",PlotRange->{0,1}]

Das Komplett-system als Matrix

Mexf3[k0_]=Simplify[Msystem[39×(10^(-9)),109×(10^(-9)),(15/10),(35/10),10,k0]];
Mexf4[k0_]=Simplify[Msystem[6×(10^(-9)),186×(10^(-9)),(15/10),(35/10),10,k0]];

Intensitäts-Reflektivität:

Rf3k[k0_]:=1-((Abs[1/Mexf3[k0][[2,2]]])^2);
Rf4k[k0_]:=1-((Abs[1/Mexf4[k0][[2,2]]])^2);

Reskalliert auf die Position des ersten Stop-Bandes:

Rf3[νr_]:=Rf3k[k0[νr×νB[39×(10^(-9)),109×(10^(-9)),(15/10),(35/10)]]];
Rf4[νr_]:=Rf4k[k0[νr×νB[6×(10^(-9)),186×(10^(-9)),(15/10),(35/10)]]];

Plot[Rf3[νr],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"(Subscript[d, 1])=39nm, (Subscript[d, 2])=109nm"]
Plot[Rf4[νr],{νr,0,4},Frame->True,FrameLabel->{"ν/(Subscript[ν, B])","ℛ"},PlotLabel->"(Subscript[d, 1])=6nm, (Subscript[d, 2])=186nm"]